Je kunt formules bewijzen door ze af te leiden (zoals bijv. in de piramide van Chiops) . Soms is het handiger een bewijs door volledige inductie te geven, b.v. als je al een vermoeden hebt van de formule maar nog moet bewijzen dat deze juist is.
De stappen bij een bewijs door inductie zijn:
-
Ga na dat de formule juist is voor zekere n, b.v. n=1.
-
Neem aan dat hij juist is voor n.
-
Leidt hieruit af dat hij juist is voor n+1.
-
Hieruit mag je dan concluderen dat hij juist is voor alle n groter dan of gelijk aande waarde uit stap 1.
We willen nu bewijzen:
$\eqalign{ \sum\limits_{i = 1}^n {i^2 } = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}}$
oftewel
$6\sum\limits_{i = 1}^n {i^2 } = n(n + 1)(2n + 1)$
Stap 1:
-
De eigenschap is juist voor n=1.
Immers voor zes piramides met grondvlak 1 zijn precies 6 kubusjes nodig.
En voor n=1 geldt n(n+1)(2n+1)=1ˇ2ˇ3=6
-
-
Stap 2:
-
Neem aan dat de formule juist is voor n.
Dus dat $6\sum\limits_{i = 1}^n {i^2 } = n(n + 1)(2n + 1)$
-
Stap 3
-
We gaan nu bewijzen dat de formule ook juist is voor zes piramides met ribbe n+1.
6 piramides met ribbe n+1 hebben n(n+1)(2n+1)+6(n+1)2 kubusjes.
Immers er moet 6 maal een grondvlak van n+1 bij n+1 worden toegevoegd.
-
-
Als de formule ook juist is voor piramides met grondvlak m=n+1 dan moet dit aantal kubusjes gelijk zijn aan:
-
-
m(m+1)(2m+1)=(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)
m(m+1)(2m+1)=(n+1)(n+2)(2n+3)
m(m+1)(2m+1)=(n+1)(2n2+7n+6)
-
-
We moeten nu dus laten zien dat geldt:
-
-
n(n+1)(2n+1)+6(n+1)2=(n+1)(2n2+7n+6).
-
-
Dit gaat als volgt:
-
n(n+1)(2n+1)+6(n+1)2=
(n+1)(n(2n+1)+6(n+1)=
(n+1)(2n2+n+6n+6)=
(n+1)(2n2+7n+6)
De formule is dus ook juist voor m=n+1.
-
-
Stap 4:
-
Nu geldt: de formule is juist voor n=1, én
we weten als de formule juist is voor n dan is hij ook juist voor n+1, dus
de formule is ook juist voor alle n groter dan of gelijk aan 1.
Voor alle n geldt dus $
6\sum\limits_{i = 1}^n {i^2 } = n(n + 1)(2n + 1)
$
Dus $\eqalign{ \sum\limits_{i = 1}^n {i^2 } = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}}$
