Bij samengestelde functies waarbij je partieel wilt integreren is het altijd even de vraag welke functie je nu moet nemen...
Voorbeeld
Gevraagd: $
\int {x^2 \cdot \ln (x)\,\,dx}
$
-
Nu zijn er twee mogelijkheden...
Algemeen
$
\int {f(x)g'(x)\,dx = f(x) \cdot g(x) - \int {g(x) \cdot f'(x)\,dx} }
$
-
Wat moet je nu voor $f$ en $g$ kiezen?
Poging 1
Neem f(x)=x² en g'(x)=ln(x). Je krijgt dan:
$
\int {x^2 \cdot \ln (x)\,\,dx} = x^2 \left( {x\ln (x) - x} \right) - \int {\left( {x\ln (x) - x} \right) \cdot 2x} \,dx
$
-
Maar of dat gaat werken? Ik denk 't niet...
Poging 2
Neem f(x)=ln(x) en g'(x)=x². Je krijgt dan:
$
\eqalign{
& \int {x^2 \cdot \ln (x)\,\,dx} = \ln (x) \cdot \frac{1}
{3}x^3 - \int {\frac{1}
{3}x^3 \cdot \frac{1}
{x}} \,dx \cr
& \int {x^2 \cdot \ln (x)\,\,dx} = \ln (x) \cdot \frac{1}
{3}x^3 - \int {\frac{1}
{3}x^2 } dx \cr
& \int {x^2 \cdot \ln (x)\,\,dx} = \ln (x) \cdot \frac{1}
{3}x^3 - \frac{1}
{9}x^3 \cr}
$
Strategie
In dit geval was het handig om voor $f$ de functie te nemen waarvan de afgeleide eenvoudiger wordt. In 't algemeen zijn $e^{x}$ of $ln(x)$ geschikte kandidaten.
