Bepaal:
$\eqalign{\int {\frac{u} {{\sqrt {u^2 + 5} }}} \,du}$
Uitwerking:
Misschien herken je de afgeleide van de wortelfunctie in je functievoorschrift. Althans de noemer doet wel denken aan:
$
\eqalign{f(x) = \sqrt x \Rightarrow f'(x) = \frac{1}
{{2\sqrt x }}}
$
Dat betekent meestal dat de substitutiemethode wel 's heel handig zou kunnen zijn.
Dat wordt dan:
$
\eqalign{\int {\frac{u}
{{\sqrt {u^2 + 5} }}} \,du = \int {\frac{1}
{{2\sqrt {u^2 + 5} }} \cdot 2u} \,du}
$
Nu is die $2u$ precies de afgeleide van het deel onder het wortelteken:
$
\eqalign{\int {\frac{u}
{{\sqrt {u^2 + 5} }}} \,du = \int {\frac{1}
{{2\sqrt {u^2 + 5} }} \cdot 2u} \,du = \int {\frac{1}
{{2\sqrt {u^2 + 5} }} \cdot d(u^2 + 5)} \,}
$
Substitueer nu $u^2+5$ door $t$ en je bent er al bijna.
