Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Hulpmiddelen

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Plaatjes en verhalen

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat

Wiskundeleraar


\require{AMSmath}

4. De afgeleide

Definitie

$
\eqalign{
& De{\text{ }}afgeleide{\text{ }}f'(x){\text{ }}wordt{\text{ }}gedefinieerd{\text{ }}als: \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}
{{\Delta x}} \cr}
$

Voorbeeld

$
\eqalign{
& f:y = x^2 - 4x + 4 \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}
{{\Delta x}} = \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {x + \Delta x} \right)^2 - 4\left( {x + \Delta x} \right) + 4 - \left( {x^2 - 4x + 4} \right)}}
{{\Delta x}} = \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{x^2 + 2 \cdot \Delta x \cdot x + \left( {\Delta x} \right)^2 - 4x - 4 \cdot \Delta x + 4 - x^2 + 4x - 4}}
{{\Delta x}} = \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2 \cdot \Delta x \cdot x + \left( {\Delta x} \right)^2 - 4 \cdot \Delta x}}
{{\Delta x}} = \cr
& f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 2 \cdot x + \Delta x - 4 = \cr
& f'(x) = 2x - 4 \cr}
$

Vooral in het laatste stukje zit een 'aardige' wending. Omdat $\Delta$x niet nul is kan je in de teller en noemer deze factor wegdelen. In de stap daarna zeg je dan dat $\Delta$x nadert naar nul, dus kunnen we deze term weglaten.

De afgeleide of hellingsfunctie (in dit voorbeeld f'(x)=2x-4) geeft voor elk waarde van 'x' de helling in het punt (x,f(x)) van de functie f.

Rekenregels

Voor het bepalen van de afgeleide is het niet nodig om steeds deze limiet op deze manier te bepalen. Voor het bepalen van de afgeleide of hellingfunctie gebruiken we een aantal rekenregels. Deze worden op de volgende pagina besproken.

©2004-2023 WisFaq